如果你要计算开方的近似值,不用计算器,你会怎么算呢?如果你一筹莫展,这里有几种好的方法。我们以√7的计算为例。√7 ≈ 2.645751311064591.二分法。如:计算√"> 千赢娱乐国际官方网站-千赢国际APP首页-千赢国际游戏下载安装
手工开平方根的方法
发布:admin  网络  2018-5-18  点击:8  回复:0  

手工开平方根的方法

如果你要计算开方的近似值,不用计算器,你会怎么算呢?如果你一筹莫展,这里有几种好的方法。
我们以√7的计算为例。√7 ≈ 2.64575131106459

1.二分法。
如:计算√7,我们知道它在2与3之间,

第1次计算,取中点2.5,则2.5^2 = 6.25,知√7在2.5与3之间。
第2次计算,取中点2.75,则2.75^2 = 7.5625,知√7在2.5与2.75之间。
第3次计算,取中点2.625,则2.625^2 = 6.890625,知√7在2.625与2.75之间。
第4次计算,取中点2.6875,则2.6875^2 = 7.22265625,知√7在2.625与2.6875之间。
第5次计算,取中点2.65625,则2.65625^2 = 7.0556640625,知√7在2.625与2.65625之间。
第6次计算,取中点2.640625,则2.640625^2 = 6.972900390625,知√7在2.640625与2.65625之间。
第7次计算,取中点2.6484375,则2.6484375^2 = 7.01422119140625,知√7在2.640625与2.6484375之间。
第8次计算,取中点2.64453125,则2.64453125^2 = 6.99354553222656,知√7在2.64453125与2.6484375之间。
第9次计算,取中点2.646484375,则2.646484375^2 = 7.00387954711914,知√7在2.64453125与2.646484375之间。
第10次计算,取中点2.6455078125,则2.6455078125^2 = 6.99871158599854,知√7在2.6455078125与2.646484375之间。
第11次计算,取中点2.64599609375,则2.64599609375^2 = 7.00129532814026,知√7在2.6455078125与2.64599609375之间。
第12次计算,取中点2.645751953125,则2.645751953125^2 = 7.00000339746475,知√7在2.6455078125与2.645751953125之间。
……(以上计算过程由计算机程序给出……)
原理:二分法。

(优点:简单;缺点:计算量很大、过于原始、收敛速度非常慢)

2.列竖式开方

      2. 6  4  5
     ____________
    √7.00 00 00
      4
40  ------------  (注:40来自于2*20)
      3 00
      2 76  (40 * 6 + 6^2 = 276) 
520  ------------  (520来自于26*20)
        24 00
        20 96 (520 * 4 + 4^2 = 2096)
5280  ------------- (5280来自于264*20)
         3 04 00
         2 64 25 (5280 * 5 + 5^2 = 26425)

        ……
原理:(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2

    (优点:无需估计区间,可直接计算结果。缺点:后期计算量极大,且方法繁杂,难以进行,易出错)


3.“公式”法

__      x        k
√k ≈ ----- + ------
         2       2x

其中x是√k 的估计值,k是被开方数。

(这个公式是用微分的线性近似法推导出来的。原本的公式有一个平方的计算,为了避免计算平方,我把分式拆开了。这可能是所有方法中最好的)

例:√7
估 x=2.5 ,则
√7 ≈ 2.5/2 + 7/5 = 2.65     (2.65^2 = 7.0225)
再估 x=2.65,则
√7 ≈ 2.65/2 + 7/5.3 ≈ 2.645754      (2.645754^2 ≈ 7.000014228516)
若再估 x=2.64575,则√7≈2.64575/2 + 7/5.2915 = 2.6457513110649

(2.6457513110649^2 ≈ 7.00000000000171889 ,可以看到,已经非常精确了)

原理:线性近似,作出 y=√x 在估计值x0处的切线,并令Δx=(x-x0),则y(x) ≈ y(x0) + y'(x0) * (x-x0)

(优点:计算非常简单,收敛速度快,一般计算几次就可以得到很精确的值;缺点:需要给出估计值)

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